英國數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)在于獨(dú)創(chuàng)性布爾就是一個(gè)典型的例子布爾邏輯代數(shù)迅速發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支全世界的數(shù)學(xué)家都把它推廣到了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域

純數(shù)學(xué)是布爾在1854年出版的《思維法則》一書中發(fā)現(xiàn)的。

由此可見數(shù)理邏輯及其分支在當(dāng)今的重要性在布爾之前的其他人，尤其是萊布尼茨和德摩根，曾經(jīng)夢想將邏輯本身加入代數(shù)領(lǐng)域布爾把它變成了現(xiàn)實(shí)

布爾1815年11月2日出生于英國林肯，一個(gè)小店主的兒子，屬于社會(huì)底層當(dāng)時(shí)，英國學(xué)校學(xué)生的目標(biāo)是在當(dāng)時(shí)流行的工廠和礦山當(dāng)工頭這些學(xué)校不是為布爾這樣的人設(shè)立的布爾國民學(xué)校的主要目的是讓窮人處于適合他們的卑微地位布爾生活的那個(gè)時(shí)代，懂一點(diǎn)點(diǎn)蹩腳的拉丁語或希臘語是紳士的標(biāo)志奇怪的是，死記硬背拉丁語語法被認(rèn)為是最有用的精神訓(xùn)練

布爾也急切地做出了一個(gè)可悲的錯(cuò)誤判斷他決定，如果他想走出困境，他必須學(xué)習(xí)拉丁語和希臘語事實(shí)上，拉丁語和希臘語與他的貧窮無關(guān)12歲時(shí)，布爾已經(jīng)掌握了足夠的拉丁語，可以將一首賀拉斯的詩翻譯成英語，并在當(dāng)?shù)貓?bào)紙上發(fā)表這引起了一場文化上的爭吵，一部分是對(duì)布爾的贊美，一部分是對(duì)他的羞辱

14歲時(shí)，波爾翻譯了當(dāng)?shù)爻霭娴南ＥD詩歌《春之頌》。

布爾最早的數(shù)學(xué)教育來自于他的父親，父親通過自學(xué)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了自己所受的一點(diǎn)點(diǎn)教育但是布爾堅(jiān)持認(rèn)為古典文學(xué)是生活的關(guān)鍵16歲時(shí)，他被迫贍養(yǎng)父母，并找到了一份小學(xué)教師的工作

布爾在兩所小學(xué)教了四年書他在資本上一無所有，賺的每一分錢都是養(yǎng)活父母，維持清貧生活的最低需要那時(shí)他不能參軍，因?yàn)樗恫黄饌蚪鹱雎蓭煟谪?cái)產(chǎn)，學(xué)歷等方面都有明顯的要求，這些要求他都達(dá)不到還有什么只有在教會(huì)，公牛決定成為一名牧師但苦于貧窮，布爾放棄了成為牧師的所有想法可是，他為理想職業(yè)所做的四年私人準(zhǔn)備并沒有完全白費(fèi)，他精通法語，德語和意大利語

公牛辦的私立學(xué)校。

幾經(jīng)波折，布爾在20歲時(shí)開辦了自己的私塾在向?qū)W生教授數(shù)學(xué)的過程中，布爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣那些當(dāng)時(shí)平庸又討厭的教科書先是讓他吃驚，然后引起了他的鄙視這些東西算不算數(shù)學(xué)難以置信和阿貝爾，伽羅瓦一樣，布爾直接到數(shù)學(xué)的原始大陸去尋找真正的數(shù)學(xué)他只接受過數(shù)學(xué)方面的初步訓(xùn)練，但通過自己的努力，他掌握了拉普拉斯的天體物理學(xué)，這是拉普拉斯最深刻的杰作之一他還深入研究了拉格朗日非常抽象的分析力學(xué)他甚至在沒有任何人指導(dǎo)的情況下，靠自己的努力做出了對(duì)數(shù)學(xué)的第一次貢獻(xiàn)——寫了一篇變分法的論文

1831年，布爾開始了一項(xiàng)雄心勃勃的數(shù)學(xué)自學(xué)計(jì)劃他用法語閱讀拉格朗日和拉普拉斯的高等數(shù)學(xué)著作他研究并掌握了艾薩克·牛頓爵士的巨著《數(shù)學(xué)原理》

從他孤獨(dú)的研究中，布爾取得了另一項(xiàng)成就他發(fā)現(xiàn)了不變量沒有不變量的數(shù)學(xué)理論，相對(duì)論就不可能存在布爾之所以能看到別人忽略的東西，無疑是因?yàn)樗麑?duì)代數(shù)關(guān)系的對(duì)稱美有著強(qiáng)烈的感受

可以指出，代數(shù)的現(xiàn)代概念始于英國皮科克在1830年發(fā)表了他的代數(shù)論文，這在當(dāng)時(shí)被視為有點(diǎn)異端的新奇事物今天，它已經(jīng)成為任何教科書中的常識(shí)皮科克完全拋棄了x，y，z，...必須在諸如x+y=y+x，xy=yx，x=xy+xz這樣的關(guān)系中表示數(shù)字，這是我們?cè)诔醯却鷶?shù)中看到的它們不一定要表示數(shù)字，這是代數(shù)及其應(yīng)用最重要的一點(diǎn)x，Y，Z，…只是按照某種運(yùn)算組合起來的任意符號(hào)

如果我們不知道代數(shù)本身只是一個(gè)抽象體系，那么代數(shù)可能仍然會(huì)牢牢地停留在18世紀(jì)的算術(shù)泥淖中，它無法在漢密爾頓的指導(dǎo)下朝著它極其有用的現(xiàn)代變體前進(jìn)代數(shù)上的這一創(chuàng)新給布爾提供了第一次機(jī)會(huì)他最初指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算的符號(hào)應(yīng)該從它們所依據(jù)的東西中分離出來，應(yīng)該研究運(yùn)算本身它們是如何結(jié)合的它們也受某種符號(hào)代數(shù)支配嗎他在這方面的研究極其有意義，但他的另一個(gè)巨大貢獻(xiàn)，即建立了一個(gè)簡單可行的符號(hào)系統(tǒng)或數(shù)理邏輯系統(tǒng)，使這項(xiàng)工作相形見絀

為了介紹布爾的杰出發(fā)現(xiàn)，我們稍稍偏離主題19世紀(jì)有兩位著名的漢密爾頓，一位是愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·羅恩·漢密爾頓，另一位是蘇格蘭哲學(xué)家威廉·哈密頓雄辯的哲學(xué)家漢密爾頓最終成為愛丁堡大學(xué)的邏輯和形而上學(xué)教授愛爾蘭的漢密爾頓在19世紀(jì)成為了一名獨(dú)創(chuàng)的數(shù)學(xué)家

蘇格蘭的漢密爾頓太笨了，在學(xué)校學(xué)不到比初等數(shù)學(xué)更多的東西，他的弱點(diǎn)就是自以為什么都懂當(dāng)他開始教授和寫作哲學(xué)時(shí)，他告訴世界數(shù)學(xué)是多么的不值錢

讓數(shù)學(xué)頭腦僵硬干癟，對(duì)數(shù)學(xué)的過度學(xué)習(xí)，使頭腦完全喪失了哲學(xué)和生活所需要的智能，數(shù)學(xué)對(duì)形成邏輯習(xí)慣完全沒有幫助，在數(shù)學(xué)上，愚鈍被提升為天賦，只有這樣才能降為無能，數(shù)學(xué)可以扭曲思想，但它永遠(yuǎn)不會(huì)糾正它。

英國數(shù)學(xué)史上的重要人物德·摩根出現(xiàn)了他是歷史上最有經(jīng)驗(yàn)的辯手之一，是一位精力充沛的數(shù)學(xué)家，也是為布爾鋪平道路的偉大邏輯學(xué)家

德莫陷入了與漢密爾頓關(guān)于他的謂詞量化的爭論德·摩爾根對(duì)演繹法做出了真正的貢獻(xiàn)，但哲學(xué)家漢密爾頓公開指責(zé)德·摩爾根竊取了自己的成果，于是這場戰(zhàn)斗開始了對(duì)德摩根來說，這場辯論是一場快樂的嬉戲德·摩根從不生氣，漢密爾頓從未學(xué)會(huì)不發(fā)脾氣

如果這只是一個(gè)關(guān)于優(yōu)先權(quán)的爭論，那就不值一提了其歷史重要性在于，當(dāng)時(shí)布爾是德·摩爾根的堅(jiān)定支持者那時(shí)候公牛還在小學(xué)教書他知道德·摩根是對(duì)的，漢密爾頓是錯(cuò)的于是，在1848年，布爾出版了一本薄薄的書《邏輯的數(shù)學(xué)分析》

這本小冊(cè)子受到了Demo的高度贊揚(yáng)這本小冊(cè)子只是六年后將會(huì)出現(xiàn)的更偉大事物的預(yù)演同時(shí)，公牛拒絕了去劍橋接受正規(guī)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的建議他繼續(xù)在小學(xué)教書，因?yàn)樗母改竿耆蕾囁?/p>

1849年，他終于被任命為新成立的女王學(xué)院的數(shù)學(xué)教授他做了各種值得注意的數(shù)學(xué)工作，但他的主要努力是繼續(xù)完善他的杰作1854年，39歲的波爾發(fā)表了這部巨著——對(duì)奠定邏輯和概率數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的思維規(guī)律的研究

以下摘錄將讓我們了解布爾的風(fēng)格及其工作領(lǐng)域，

本文的目的是研究推理所依據(jù)的心算基本規(guī)律，用微積分語言來表達(dá)它們，并在此基礎(chǔ)上建立邏輯科學(xué)，構(gòu)造其方法，使這種方法本身成為應(yīng)用于概率的數(shù)學(xué)原理的一般方法的基礎(chǔ)，最后，從這些探索中發(fā)現(xiàn)的各種真理的成分中，收集了一些可能與自然構(gòu)成和人類思維有關(guān)的線索…

確實(shí)有一些基于語言本身特點(diǎn)的一般原則，決定了符號(hào)作為科學(xué)語言元素的使用在某種程度上，這些元素是任意的他們的解釋純粹是常規(guī)的:我們可以在任何我們想要的意義上應(yīng)用它們但這種許可受到兩個(gè)必要條件的限制——第一，一旦這種意義被常規(guī)地確立，我們就決不能在同樣的推理過程中偏離它，第二，指導(dǎo)這一過程的規(guī)則應(yīng)完全基于上述所用符號(hào)的固定含義與這些原則相一致，邏輯和代數(shù)的符號(hào)法則之間建立的任何一致只能導(dǎo)致過程一致的結(jié)果這兩個(gè)領(lǐng)域的解釋仍然是分開的和獨(dú)立的，每一個(gè)服從自己的法律和條件

在接下來的實(shí)踐研究中，從實(shí)踐的角度來看，邏輯是一個(gè)借助于具有明確解釋的符號(hào)來實(shí)現(xiàn)的過程系統(tǒng)，并且只遵循基于這種解釋的規(guī)則但同時(shí)又表明，它們?cè)谛问缴吓c代數(shù)的一般符號(hào)是一樣的，只是邏輯符號(hào)要遵守一個(gè)特殊的規(guī)則，而在這方面，量的符號(hào)不必遵守這個(gè)規(guī)則

將布爾邏輯簡化成一種極其簡單的代數(shù)在這個(gè)代數(shù)中，適當(dāng)?shù)耐评沓蔀楣降幕具\(yùn)算因此，邏輯本身受數(shù)學(xué)支配

自從布爾的開創(chuàng)性工作以來，他的偉大發(fā)現(xiàn)在許多方面得到了改進(jìn)和推廣在理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的今天，符號(hào)或數(shù)理邏輯是不可或缺的如果只能使用布爾之前的邏輯方法，那么人類的理性就無法應(yīng)對(duì)符號(hào)推理已經(jīng)深入的復(fù)雜困難布爾的大膽倡議具有里程碑意義

自從1899年希爾伯特發(fā)表了他的巨著《幾何基礎(chǔ)》以來，人們開始關(guān)注數(shù)學(xué)幾個(gè)分支公設(shè)的系統(tǒng)闡述多虧了希爾伯特的工作，龔才得以被認(rèn)可這種抽象的潮流曾經(jīng)風(fēng)靡一時(shí)在這種趨勢下，特定課題中的符號(hào)和運(yùn)算規(guī)則完全失去了意義，而是從純形式的角度進(jìn)行討論，從而忽視了應(yīng)用，而應(yīng)用是人類任何科學(xué)活動(dòng)的終極追求可是，抽象方法確實(shí)提供了不可替代的洞察力，尤其是布爾邏輯代數(shù)的簡單性

因此，我們將描述布爾代數(shù)的公設(shè)以下一組公設(shè)摘自Hendington在《美國數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)雜志》上發(fā)表的一篇文章

這組公設(shè)用K，+，X表示，其中K是一類不確定元素A，B，C，…，而A+B和a×b是兩個(gè)不確定二元運(yùn)算的結(jié)果+，×有10個(gè)公設(shè)，

I:如果A和B在K類，那么a+b在K類。

I:如果A和B在K班，那么ab在K班。

II:有一個(gè)元素Z，所以對(duì)于每個(gè)元素A都有A+Z = A。

b:有一個(gè)元素U，所以對(duì)于每個(gè)元素A都有Au = A。

ⅲa:a+b = b+ a .

ⅲb:ab = ba .

IVa:a+bc=.

ⅳb:a = a b+ AC .

v:對(duì)于每個(gè)元素A，都有一個(gè)元素A’，所以A+A’= U，AA’= z。

ⅵ:k類中至少有兩種不同的元素。

很容易看出下面的解釋滿足這些公設(shè):A，B，C，…是一些類，A+B是由A類和B類中至少一個(gè)類中的所有那些東西組成的類，Ab是由既在A類又在B類的事物組成的類，z是空類——沒有元素的類，u是完整的類——一個(gè)包含所有討論的類中的所有內(nèi)容的類那么公設(shè)V表明，對(duì)于任何已知的A類，都存在一個(gè)A '類，包含所有那些不在A中的東西，注意，ⅵ表示U和Z不是同一個(gè)類

從這樣一組簡單明了的陳述中，整個(gè)經(jīng)典邏輯可以用帶符號(hào)的代數(shù)來建立從這些公設(shè)中發(fā)展出了一種可以稱之為邏輯方程的理論:將邏輯學(xué)中的問題轉(zhuǎn)化為這樣的方程，然后用代數(shù)方法求解這些方程，然后根據(jù)邏輯數(shù)據(jù)重新解讀這個(gè)解，給出原問題的答案

關(guān)系altB由以下任一等式定義:A+B = B，ab=a，a'+b=U，AB ' = Z。

為了證明這些是合理的，考慮第二個(gè)方程AB = A這個(gè)方程說，如果A包含在B中，那么A和B中的一切都是A的總和

從公設(shè)可以證明以下關(guān)于包含的定理選取的例子都符合我們對(duì)包容含義的直觀概念

1.alt答.

2.if altb，bltc，然后alt丙.

3.If altb，blta，那么a=b..

4.Zlt答.

5.altu .

6.altA+b和if alty，blty，那么a+BLT，y .

7.ablt而如果xlta，xltb，那么xltab .

8.如果xlta，xltd’，那么x = z，且如果改變，y，a ' lty，那么y = u。

9.If altb '不成立，那么至少有一個(gè)元素X不同于Z，所以xlta，xlt乙.

請(qǐng)注意lt，在算術(shù)和分析中是小于的符號(hào)這種符號(hào)推理的重要性在于，它可以用于與所有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相關(guān)的微妙問題如果不是這種精確的方法一勞永逸地確定文字或其他符號(hào)的含義，這種問題對(duì)于普通人來說可能是不可能的

和幾乎所有的新奇事物一樣，符號(hào)邏輯在發(fā)明后的很多年里都沒有受到人們的重視即使在1910年，著名數(shù)學(xué)家也輕蔑地稱之為沒有數(shù)學(xué)意義，在哲學(xué)上很奇怪的東西羅素在《數(shù)學(xué)原理》中的工作首先讓所有職業(yè)數(shù)學(xué)家相信，符號(hào)邏輯可能值得他們關(guān)注這里可以提一下康托爾，他是符號(hào)邏輯的堅(jiān)定反對(duì)者懂?dāng)?shù)就是懂?dāng)?shù)學(xué)

布爾于1864年12月8日去世，享年50歲。

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